Dúvida da Sissa (2)

Marcelo, como resolvo este exercício?

Em 1996, uma indústria iniciou a fabricação de 6000 unidades de certo produto e, desde então, sua produção tem crescido à taxa de 20% ao ano. Nessas condições, em que ano a produção foi igual ao triplo da de 1996?(Dados: Log 2=0,30 e Log 3=0,48)

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Olá Sissa,

Para resolver este problema, podemos nos apoiar na equação de juros compostos:

S = P (1 + i)ⁿ

onde S = montante, P = principal, i = taxa de juros e n = número de períodos que o principal P (capital inicial) foi aplicado.

Para o nosso problema, temos:

p = 6000;

i = 20%;

n = quantidade de anos de produção.

Sendo assim, nossa equação fica:

S = 6000*(1,2)ⁿ

Para a produção ser igual ao triplo do ano de 1996, a produção no ano "n" deve ser 3 vezes maior do que a do ano de 1996 (6000 unidades). Portanto, fica:

6000*3 = 6000*(1,2)ⁿ

Por esta equação, fica evidente que (1,2)ⁿ = 3.

Portanto, só nos falta agora descobrir o valor de n. Assim:

log_1,23 = log 3/log 1,2

(pela propriedade da mudança de base)

log 3/log 1,2 = log 3/ log12 - log 10

(pela propriedade do quociente do logaritmo)

log 3/log 12 - log 10 = log 3/log 4 + log 3 - 1

(pela propriedade do produto do logaritmo)

log 3/log 4 + log 3 - 1 = log 3/2log 2 + log 3 -1

(pela propriedade da potência do logaritmo)

Substituindo log 2 = 0,3 e log 3 = 0,48, temos:

n = log 3/2log 2 + log 3 -1

n = 0,48/(2*0,3 + 0,48 - 1)

n = 6

Ou seja, quando n = 6, a produção será três vezes maior do que a do ano de 1996. Sendo assim, concluímos que esse ano será 1996 + 6 = 2002.

Um abraço! Até mais!

Marcelo Flora

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