Dúvida do "Pitágoras de Samos"

Considere S a soma dos termos infinitos de uma PG de números estritamente positivos com razão 2 e, sendo a1 = 1.

A partir do , os termos são todos múltiplos de 2.

S = (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32)

Se colocarmos o 2 em evidência, teremos:

S = 1 + 2(1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32),

como S = (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32), temos:

S = 1 + 2S

S - 2S = 1

ou seja,
S = – 1

Onde está o erro?

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Olá "Pitágoras",

Antes de analisarmos este exercício, precisamos entender o que é o infinito em matemática, e ver algumas de suas propriedades.

Gostaria de deixar bem claro que não possuo a formação necessária para demonstrar tais conceitos. Assim, dou-me ao direito de não ser muito rigoroso nesta resolução.

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Existe um paradoxo muito interessante proposto pelo matemático alemão David Hilbert (1862-1943) sobre conjuntos infinitos. É chamado “O paradoxo do Hotel de Hilbert”.

Veja:

“Considere um hotel hipotético com infinitos quartos, todos ocupados - isto é, todos os quartos contém um hóspede. Suponha que um novo hóspede chega e gostaria de se acomodar no hotel. Se o hotel tivesse apenas um número finito de quartos, então é claro que o requerimento não poderia ser cumprido, mas como o hotel possui um número infinito de quartos então se movermos o hóspede do quarto 1 para o quarto 2, o hóspede do quarto 2 para o quarto 3 e assim por diante, podemos acomodar o novo hóspede no quarto 1, que agora está vago. Por um argumento análogo é possível alocar um número infinito (contável) de novos clientes: apenas mova o hóspede do quarto 1 para o quarto 2, o hóspede do quarto 2 para o quarto 4, e em geral do quarto N para o quarto 2N, assim todos os quartos de número ímpar estarão livres para os novos hóspedes.”

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Este paradoxo nos mostra que não devemos pensar no infinito como um número real.

Ocasionalmente, considera-se ao infinito como sendo um número especial, adicionando os símbolos e ao conjunto dos números reais , formando assim o conjunto de números reais estendidos: .

Com isto, pode-se manipular o infinito como se fosse um número, porém sujeito a certas regras:

Relação de ordem: para qualquer número real x.




Operações aritméticas entre infinitos:

 

É interessante notar que muitas das operações possíveis com o infinito estão sem definir (quer dizer, não têm um valor atribuído). São elas:
 Fontes:
http://pt.wikipedia.org/wiki/Infinito
http://pt.wikipedia.org/wiki/Paradoxo_do_Grand_Hotel_de_Hilbert


Agora que já sabemos algumas informações sobre o infinito na matemática, vamos abordar o nosso problema.
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Podemos facilmente ver que a soma dos termos infinitos de uma PG de números estritamente positivos com razão 2, com , é igual a infinito. Portanto, temos:

=

Desta forma, temos que tratar de um modo especial, como visto anteriormente.

Após o número 2 ser colocado em evidência,





substitui-se no lugar da soma da PG, S.


= 1 + 2


Para ficar evidente o erro, vamos substituir por .


= 1 + 2

Para passar 2 para o outro lado da equação, teríamos que subtrair  2 de ambos os lados, o que gera uma indefinição (Veja a propriedade IV apresentada anteriormente).

Assim, fica impossível prosseguir com o cálculo, tornando incorreta a resolução apresentada.

Bom, é isso. Caso alguém tenha algum comentário ou sugestão sobre este problema, ficarei muito interessado em discutí-lo.


Um abraço! E bom feriado!


Marcelo Flora
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