Dúvida do Sandro

Olá Marcelo, boa noite.

Conheci seu blog através do ORKUT e achei muito boa a sua iniciativa. Parabéns.

Eu estou estudando pra concurso e em uma das provas anteriores tem uma questão de matemática que me deixou confuso. Por favor me ajude com essa questão pois nunca vi isso.
Segue:

"O valor da soma infinita 2-1+1/2-1/4+1/8-1/16 ... é?"


No gabarito a resposta é: 4/3
Nunca vi soma infinita, preciso muito aprender a fazer esses cálculos.

Desde já fico-lhe grato.

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Olá Sandro,

Muito interessante este exercício, ainda não tinha colocado nada no blog sobre Progressões Geométricas.

Vamos à resolução.

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Uma progressão geométrica (P.g. ou P.G.) é uma seqüência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto do termo anterior por uma constante . Esta constante é chamada razão da progressão geométrica.

Vejamos alguns exemplos de P.G.:

[1,2,4,8,16,32,64,128,256, ...]

Sua razão "q" é igual a 2. Perceba que cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto do termo anterior por 2.

[1,-3,9,-27,81,-243,792,-2187,...]

Nesta outra P.G., temos uma razão igual a -3.Perceba que cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto do termo anterior por -3.

No caso do seu exercício, temos uma P.G. de razão igual a -1/2. Veja:

[2,-1,1/2,-1/4,1/8,-1/16, ...]

Agora basta fazermos a soma dos infinitos termos de uma P.G. (Lembrando que só podemos realizar este cálculo quando o módulo de "q" é menor que 1).

A equação utilizada é a seguinte:

S = a1/(1 - q)

Onde S é a soma dos infinitos termos da P.G., a1 é o primeiro termo da sequência, e q é a razão.

Substituindo os valores da nossa sequência na equação, temos:

S = 2/ (1 - (- 1/2) )

S = 2/ (1+1/2)

S = 2/ (3/2)

S = 4/3

Espero ter ajudado!

Um abraço!

Marcelo Flora

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Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Progressão_geométrica#Soma_dos_infinitos_termos_de_uma_P.G.