Dúvida da Michelle

Oie! Marcelo

Preciso que me ajude com um problema.
Eu sou horrivel em matemática!
Na verdade, eu tenho oito problemas, mas mandei esse ai por enquanto, se puder me ajudar.

1) 500 moedas são distribuidas entre três pessoas A, B e C, sentadas em circulo, da seuinte maneira: A recebe uma moeda, B duas, C três, A quatro, B cinco, C seis, A sete, e assim por diante, até não haver mais moedas suficientes para continuar o processo. A pessoa seguinte, então receberá as moedas restantes.

Quantas forma as moedas restantes e quem as recebeu?

a) 3 para A

b) 3 para B

c) 4 para A

d) 4 para B

e) 5 para B

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Olá Michelle,

Ainda não tinha colocado nada sobre Progressões Aritméticas, acredito que a sua dúvida vai ajudar muita gente.

Confesso que este exercício não é muito fácil, mas vamos à resolução.

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Foram distribuídas 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + n moedas. Qual deve ser o valor de n para que essa soma fique o mais próxima possível de 500, porém menor do que 500? (Pois irão sobrar moedas).

Para resolver a esta pergunta, devemos utilizar a seguinte equação, que nos mostra a soma de n termos em uma P.A.

Sn = (n*(a1 + an))/2

Sendo Sn a soma dos n termos, n o número de termos, a1 o primeiro termo, e an o último termo da P.A.

Perceba que devido à nossa P.A. começar em 1, e ter razão igual a 1, temos an = n, e podemos reescrever nossa equação da seguinte forma:

Sn = (n*(1 + n))/2

Portanto, temos:

(n*(1 + n))/2 =~ 500 >

n*(1 + n) =~ 500*2 >

n² + n =~ 1000

n² + n - 1000 =~ 0

Resolvendo a equação de 2º grau, temos:

Delta = b² - 4*a*c

Delta = 1² - 4*1*(-1000)

Delta = 4001

Como o que queremos é um valor inteiro para n, vamos arredondar o valor de Delta para 3969, que é o valor mais próximo com raiz exata.

Sendo assim:

n = (- b +/- raiz(Delta))/2*a

Como o que queremos é um valor positivo (o número de moedas), iremos descartar a parcela negativa da equação.

Portanto:

n = ( - 1 + raiz(3969))/2

n = 31

Substituindo na equação da soma dos termos, 31, temos:

Sn = (n*(1 + n))/2

Sn = (31*32)/2

Sn = 496

Sendo assim, já sabemos que a última pessoa recebeu 4 moedas. Mas quem recebeu?

Vejamos as sequências de cada uma das pessoas:

A = (1,4,7,10, ...)

B = (2,5,8,11, ...)

C = (3,6,9,12, ...)

Sendo an = a1 + (n - 1)*r a equação de uma P.A., temos:

an de A = 3n - 2

an de B = 3n -1

an de C = 3n

Já sabemos que uma das 3 pessoas recebeu 31 em sua última vez, portanto para saber quem recebeu, só nos resta substituir 31 no lugar de an em cada equação.

Para A:

31 = 3*n - 2

33 = 3n

n = 11

Para B:

31 = 3n -1

32 = 3n

n = 32/3

Para C:

31 = 3n

n = 31/3

Perceba que a única equação que obteve resultado inteiro foi a de A, então foi A que recebeu as 31 moedas.

Logo, as 4 restantes foram para B.

A resposta correta é a alternativa d) 4 para B.

Espero que tenha entendido.

Até mais!

Marcelo Flora

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