segunda-feira, 1 de março de 2010

Dúvida da Marta

 Gostaria de saber como uma função logarítmica é inversa a uma função exponencial. Desde já, obrigada.


Marta Menezes




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Olá Marta,


Para conseguirmos entender como uma função logarítmica é a inversa de uma função exponencial, precisamos primeiramente entender o conceito de função inversa.
Vamos à resolução.

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Para entendermos este conceito, vamos considerar uma função f de A = {-1, 3, 7, 11} em B = {0, 4, 8, 12} representada pelos diagramas abaixo.

funcao
De um modo prático, podemos dizer que a função inversa será uma função com os mesmos conjuntos A e B, porém o domínio e a imagem são trocados. Assim:

funcao inversa

Vejamos então a definição de função inversa:
“Sendo $f: A \to B$ uma função bijetora, dizemos que $f^-1: B \to A$ é função inversa de $f$ se, e somente se, para todo $(x,y) \in f$, $(y, x) \in f^-1$.”
Ou seja, uma função só será inversa se for bijetora e que $D(f) = Im(f^-1)$ e $Im(f) = D(f^-1)$.
(Não sabe o que é função bijetora? Clique aqui.)

Agora que já entendemos o conceito de função inversa, vamos à pergunta em questão.
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Considere a função exponencial, $y= a^x$, onde $0 < a \neq 1$, definida para todo x real.
Esta função é bijetora, pois:
a) É injetora, ou seja: elementos distintos possuem imagens distintas.
b) É sobrejetora, pois o conjunto imagem coincide com o seu contradomínio.

Assim sendo, a função exponencial é bijetora e, portanto, admite uma função inversa.
Observe que nestas condições ($0 < a \neq 1$), $a^x$ é necessariamente positivo, para todo $x \in \mathbb{R}$.

Assim, a imagem da nossa função será o conjunto dos números reais positivos $\mathbb{R}$+*, e seu domínio o conjunto dos números reais R. Perceba que nada mais é do que o contrário de uma função logaritmica ($D = \mathbb{R}$+*, $Im = \mathbb{R}$).

Mas, para termos certeza, vamos calcular a função inversa de $y= a^x$.
Primeiramente, devemos isolar o x da equação. Para isto, vamos usar o logaritmo.
$y = a^x$
$\log_{a}y = x$

Agora trocamos "x" por "y":
$y = \log_{a}x$
Chegamos em uma função logaritmica!

Então a função exponencial é a inversa da função logarítmica e vice-versa.
Para finalizar, veja o que acontece quando colocamos estas duas funções (logaritmica e exponencial) em um gráfico:

comparacao-funcoes

Os gráficos são simétricos em relação à bissetriz do 1º e 3º quadrantes.

Espero que tenha entendido.

Um abraço!
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