quinta-feira, 28 de janeiro de 2010

Dúvida do Marcos

Olá Marcelo, me chamo Marcos e estou precisando de uma ajudinha, pois tenho dificuldade em matemática. Desde já agradeço.
O problema é o seguinte:
Calcular a taxa única que deverá substituir as taxas de 8%,10%,20% nos abatimentos sucessivos sobre uma fatura.
R: 33,76



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Olá Marcos,
Para resolver este problema, desenvolvi um método próprio. Pode não ser o mais simples, mas funciona. Portanto, fiquem à vontade para fazerem comentários.
Vamos à resolução.
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De forma simplificada, o que o problema pede é uma taxa de desconto que seja equivalente a descontar, sucessivamente, 8%, 10% e 20%. Para calcular esta taxa (vamos chamá-la de i), consideremos que aplicamos um capital inicial C, e que, após todos os descontos, temos um montante final Mf.
Assim, matematicamente, fica:
$Mf = C - C*i$ (1)
Agora o que temos que fazer é descobrir um valor para Mf, de modo que possamos assim calcular a taxa. Para isso, vamos criar mais duas variáveis: M2 e M3.
M2 = Montante após o desconto de 8%
M3 = Montante após o desconto de 10%
Obs.: Mf será igual ao montante após o desconto de 20%, pois é o último desconto a ser feito.
Relacionando estas variáveis, temos:
$M2 = C - 0,08C$ ===> $M2 = 0,92C$ (2)
$M3 = M2 - 0,1M2$ ===> $M3 = 0,9M2$ (3)
$Mf = M3 - 0,2M3$===> $Mf = 0,8M3$ (4)
Substituindo as equações 2 e 3 em 4, temos:
$Mf = 0,8M3$
$Mf = 0,8(0,9M2)$
$Mf = 0,8(0,9(0,92C))$
$Mf = 0,6624C$ (5)
Agora basta substituir 5 em 1. Perceba que o capital inicial, C, se cancela.
$Mf = C - C*i$ (1)
$(0,6624C) = C - C*i$
$0,6624C = C(1 - i)$
$\frac{0,6624C}{C} = 1 - i$
$0,6624 = 1 - i$
$i = 1 - 0,6624$
$i = 0,3376$
Sendo assim, em percentual, a taxa que estávamos procurando é de 33,76%.
Um abraço!
Marcelo Flora
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2 comentários:

  1. mas que porra é essa ?

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  2. Mais fácil desse jeito:
    Considere um valor pra aplicar as taxas sucessivas.
    por exemplo, o número 100.

    Daí e só fazer as contas:
    100-8%=92
    92-10%=82,8
    82,8-20%=66,24

    logo,
    100(valor inicial) - 66,24(o que sobrou do valor inicial) = 33,76 (desconto aplicado).

    Quantos por cento de 100 é 33,76?
    33,76%

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